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kahonium's diary

色んなことについてそれなりに書き連ねます

多項定理についてやんわりと語る

元旦には何もやることがない…わけではないですが、二項定理について語ったので「多項定理」についても個人的に物申してみたいと思います。二項定理だけでお腹いっぱい?ははは、冗談はよくない。

 

察しのいい方や既に学んでその記憶がビッシリ残っている方はおわかりだろうが(後者はほぼいないと予想)、二項定理の上位互換的な存在であることは間違いなさそうである。

では多項定理とはどんなものなのか。

 

  1. 項が3つ以上の二項定理みたいなやつ

 

 

・・・と言われても反応に困るので、実際に例を挙げると

 

(a+b+c)^n=....

 

 

 

 

....?

 

 

 

 

....??

 

 

 

 

お使いの端末は正常です。というか考えてもみてほしい。以上の式の左辺は確かに多項定理の一般的な公式だが、a=x^2、b=x、c=1、n=9だとしたら貴方はどうするか。「(x^2+x+1)^9を計算せよ」なんて問題が出てきたらどうするのか。答えはいたって簡単。どうしようもできない。というかそんな問題出てこない。

 

じゃあどんなのが聞かれるのよ、というとこれもまた特定の項でしか問わないのが多い。多いって曖昧な表現なんだよ、ただの予防線です。

 

Q.(a+b+c)^9におけるa^6*b^3の係数を求めよ

 

さて、だいたいこういう問題が多項定理の登竜門(そうでもない)だが、一般項はどんなものかというと

 

任意の(a+b+c)^nにおいて、a^p*b^q*c^rの係数は

 

n!/p!q!r! *(a^p*b^q*c^r)

(ただしn=p+q+rを満たす)

 

Cは消えたけど今度は!が出てきた!なにこの!!エクスクラメーションマークだよ。

よく見れば、(a^p*b^q*c^r)のところは覚えなくていい。求めるべきものの情報であり、かつ問題を解く前に我々に与えられているので、元から分かっているのである。さらに簡単に言ってしまえば、pとqとrは既に分かっており、nについてもその下にちょこんと(ただしn=p+q+rを満たす)この様に書いてあるので、つまるところ計算問題ということになる。じゃあなんでこんな仰々しい名前なんだよ。

 

だが多項定理はこれだけではない。例えば友達2人とジャンケンを1回したとしよう。友達が2人もいない?その限りではない。

 

となると、マレーシアなどの例外は除いて出す手は3種類、かつその確率が何故か強大な力によって1/3に収束するが、自他共にこちらの方が計算しやすいのでこれで考慮する。

 

さて、ここで多項定理を適用するとどうなるだろうか。

グーの確率が1/3、チョキが1/3、パーが1/3、3人でジャンケン…

 

 

(1/3+1/3+1/3)^3

 

 

さていきなり感が凄いが、受け入れてほしい。一番左の1/3がグー、中央がチョキ、右がパー、^3の3が人数である。これ普通に計算して1じゃねぇか。その通り。これはすべての確率の和を表しているので、むしろ1にならなかったら何かしら間違っているのである。

 

このままでは何が何だかなので、やはり例から入ることにしよう。

1人がグー、2人がチョキを出す確率を求める時は

 

3!/1!2!0! *(1/3)(1/3)^2(1/3)^0

 

多項定理のあの公式を覚えておいだろうか。これはp=1、q=2、r=0の場合である

ではp=1、q=1、r=1の時はどういった状態だろうか。これは引き分けである。各々グー、チョキ、パーを出している状態である。ちなみに「1人が勝つ確率」となると上の式に3C1をかける必要があるので、そこにも注意しよう。^nなので、たとえ1000人でジャンケンしようが場合分けできる(計算できるとは言ってない)が、東大とかで出た「一度負けたら次回から参加できない」という特殊ルールや、複数回やる場合にはあまり不向きである。なんだったんだ多項定理。

 

というわけで多項定理についてそれなりに心中を語ったので、この辺りで締めることにする。証明?できるっぽいですよ。ただこのブログは学習サイトでもなんでもないので、知りたい方は専門サイトまで足を運んでみてください。

 

(P.S. !で思い出したことがありました。撹乱順列についても追って述べたいと思います)