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kahonium's diary

色んなことについてそれなりに書き連ねます

包絡線についてやんわりと語る

 お久しぶりです。

4月は本当に色々なことがあり、おまけに身体がガタガタなので記事を書く暇も体力もありませんでした。ごめんね。

 という謝罪はさておき、1ヶ月ぶりなので日常について書こうかな、とも思ったのですがそこまで面白いこともないので包絡線についてやんわりと語りたいと思います。やんわりとね。※書いてる人は高校生なので細かい知識とかまでは当然わかりません。そういうとこを詳しく知りたい方はググってみよう!

 

  • 包絡線ってなんだ

  仮にy=f(x)、y=g(x)を設定し、f(x)と必ずどっかの点で接するような関数をg(x)とおきます。なにそれすげえじゃん。即ちそのg(x)が包絡線です。

 

  •  それが分かってどうなるの

  高校数学において使える場面は非常に限られる、と個人的には思ってますが通過領域の図示などの問題に有効です。例えばf(x)にx以外の文字(tとか)が入っていたとすると、その文字の範囲によってf(x)は様々なグラフをとることになります。しかしその包絡線であるg(x)が何か分かっていれば、g(x)に沿ってf(x)が動いている、変化していると予測が立ち、グラフを描く手立てが立つのです。

 

  • じゃあg(x)はどうやって求めるんだ

 

  自分は偏微分を使って求めています。詳しい定義などはわからないので迂闊に書けませんが、偏微分とは関数を特定の文字で微分することです。

 

  例えばf(x,y)=x^2+2xyという関数をおくと、

 xに関する偏微分は2x+2y、yに関する偏微分は2xとなります。

その文字を変数として扱い微分し、それ以外の文字は定数(数字と同じ)扱いになります。

 

  本題に戻り、結局g(x)はf(x)をtで偏微分することでtとxの関係を明確にし、その関係式をf(x)に代入することでtを消去し導かれます。

 例えばf(x)=2t^2x-3t^3という関数があったとすると、両辺をtで微分(=偏微分)し

  0=4tx-9t^2となり、tが0でない前提でt=4x/9という関係式が出てきます。

  これをf(x)に代入し、f(x)=32x^2/81 - 64x^3/243といった式が出てきますが、これが包絡線です。きったな。

 

  • 前提知識や厳密な定義示さず使って大丈夫なの?

 

  試験的に校内模試で試しましたが不問でした。ですが採点が甘かった可能性も否定しきれないので、これは逆手流やファクシミリの原理で片がつかない時に切り札として使うのがベストでは、と思っています。

 

 

 

  というわけで包絡線についてやんわりと語り終えました。前述の通り、しっかりと学びたい方は専門のサイトや、世の数学者が書いてる本などを買って読んでみるといいと思います。

 

  話は変わりまして、これからの投稿頻度ですが更に低くなることが予想されます。というのも受験という大きな壁がうんぬんかんぬん〜〜〜ということで、次書くとしても夏ぐらいだと思います。もしかしたら受験が終わるまで更新なしかもしれませんし、数日後のGWにまた1記事書くかもしれません。そんなこんなで生き急いでいますが、ご了承ください。